(a + b)|(a^n + b^n) < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welches n [mm] \in [/mm] N gilt, (a+b) teilt [mm] (a^{n}+b^{n}) [/mm] |
Hallo Zusammen,
sitze bei folgender Aufgabe fest. Mir ist klar, dass n ungerade sein muss aber weiter komme ich nicht.
Hat jmd vllt nen Tipp oder nen Ansatz?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bettdecke, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für welches n [mm]\in[/mm] N gilt, (a+b) teilt [mm](a^{n}+b^{n})[/mm]
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> Hallo Zusammen,
> sitze bei folgender Aufgabe fest. Mir ist klar, dass n
> ungerade sein muss aber weiter komme ich nicht.
> Hat jmd vllt nen Tipp oder nen Ansatz?
Das zeigst Du am einfachsten durch Polynomdivision.
Für ungerade n geht sie auf (und Du hast auch gleich die Zerlegung), für gerade n aber nicht - bzw. nur für bestimmte a,b. Das aber sieht die Aufgabe nicht vor. Zum Beispiel für b=a oder b=a(a-1) ist eine Zerlegung auch für gerade n möglich.
Kontrolllösung für n=2k+1: [mm] (a^n+b^n)=(a+b)*\summe_{i=0}^{2k}(-1)^i*a^i*b^{2k-i}
[/mm]
Grüße
reverend
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Hi,
danke erstmals für die schnelle Antwort.
Habe es bisher nur mit der vollständigen Induktion versucht aber wieso sollte mir auch die Polynomdivision nicht helfen :)
Leider habe ich lange nicht mehr mit der Polynomdivision gearbeitet.
Der Dividend müsste [mm] a^{2k+1}+b^{2k+1} [/mm] sein. Und der Divisor a+b.
Stimmt das soweit=?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> danke erstmals für die schnelle Antwort.
> Habe es bisher nur mit der vollständigen Induktion
> versucht aber wieso sollte mir auch die Polynomdivision
> nicht helfen :)
> Leider habe ich lange nicht mehr mit der Polynomdivision
> gearbeitet.
> Der Dividend müsste [mm]a^{2k+1}+b^{2k+1}[/mm] sein. Und der
> Divisor a+b.
> Stimmt das soweit=?
Ja
FRED
>
> Danke!
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moin bettdecke,
Da ich erst vor ein paar Tagen eine sehr ähnliche Aufgabe hatte und mich da mit Polynomdivision abgemüht habe möchte ich dir noch einen kleinen Tipp geben.
Falls über a und b keinerlei weitere Aussagen getroffen wurden, du also nur die n finden sollst, so dass es für alle a,b gilt, kannst du das ganze auch als Funktion auffassen.
Ich schreib das jetzt mal als reelle Funktion, sollten deine a,b aus anderen Definitionsbereichen kommen kannst du das sicher anpassen.
$f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^n [/mm] + [mm] b^n$ [/mm] für ein festes $b [mm] \in \IR$.
[/mm]
Ich habe das a jetzt x genannt, damit es leichter zu erkennen ist was fest ist und was variabel, aber du kannst natürlich gerne den Namen a behalten.
Dann ist jetzt die Frage, wann dieser Ausdruck durch (x+b) teilbar ist.
Es gilt aber [mm] $(x+b)|(x^n [/mm] + [mm] b^n) \gdw [/mm] f(-b) = 0$, also -b ist eine Nullstelle von f.
Daraus ergibt sich:
[mm] $(-b)^n [/mm] + [mm] b^n [/mm] = 0$
An dieser Stelle sieht man sehr schön - und vor allem ohne größere Rechnung - dass dies genau dann der Fall ist wenn n ungerade ist (so lange man keine Bedingungen an b stellen darf).
Du erhältst auf diese Art zwar keine Faktoren oder ähnliches, aber wenn nur der Beweis gefordert ist wäre dies vielleicht eine Alternative.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mo 21.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Schadow,
schicke Idee! Das ist ja eine elegante Lösung.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Mo 21.11.2011 | | Autor: | bettdecke |
Super danke dir!
Die Polynomdivision wollte sich einfach nicht lösen lassen....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Mo 21.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Die Polynomdivision wollte sich einfach nicht lösen
> lassen....
Dann solltest Du Dir das - ganz abseits der Aufgabe - aber auf jeden Fall nochmal anschauen.
Das Ergebnis habe ich Dir vorhin schon mitgegeben, aber Du musst es natürlich selbst finden können.
Für [mm] (a^3+b^3):(a+b) [/mm] ergibt sich z.B. [mm] (a^2-ab+b^2), [/mm] in der fünften Potenz dann [mm] (a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4) [/mm] etc.
Grüße
reverend
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